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étage 8/12: La théorie du chaos

Attracteur de Lorenz
"Ma théorie du chaos, c'est un bon crochet du gauche" (Mohamed Ali)

La théorie du chaos est plus connue sous le nom d'effet papillon: un battement d'aile d'un papillon au Brésil peut déclencher une tornade à Miami. De quoi s'agit-il, plantons le décor ...

Au début il y a eu la lumière puis Newton qui en 1687 publie en latin, ça fait beaucoup plus chic, son "principes mathématiques de la philosophie de la nature", déjà évoqué ici. Newton introduit sa théorie du mouvement et de la gravité, pose que l’espace absolu est un espace euclidien infini à trois dimension. La notion d'espace absolu est évoquée dans l'arrêt à l'étage de mon ascenseur consacré au temps. Néanmoins Newton est embarrassé, ses lois décrivant la gravitation fonctionnent diaboliquement, mais il reste une interrogation en suspend: qu'en est-il de l'interaction globale de toutes les planètes du système solaire, entre-elles ? La complexité provient que chaque planète exerce une influence l'une sur l'autre. De fait, une perturbation d'une seule planète, la plus petite soit-elle, peut venir dérégler l'ensemble du système. Newton, n'ayant pas la réponse, se dit qu'il existait une intervention tierce, divine, qui remettait de l'ordre dans le système.

Newton aura besoin d'une fantastique machine à calculer dans le cadre de sa théorie du mouvement et de la gravité, cette machine n'existant pas, il s'empressera de la co-inventer avec Leibniz, Les équations différentielles sont nées.

Equation différentielle

Puisque nous disposons de la machine à calculer, les équations différentielles, rien ne s'oppose, du moins Newton en a la conviction, à la prédiction de la position d'un objet dans l'espace. La position de la Terre aujourd'hui, permetraît de déterminer la position de la Terre il y a de cela 2 mille ans, et nous permetraît de déterminer quelle sera la position de la Terre dans 2 mille ans: le déterminisme est né. Dans cette approche, tout les instants sont équivalents entre eux puisqu'ils ne nous donnent pas plus d'information les uns que les autres. D'autre part chacun de ces instants possède toute l'histoire du système.

"Rien n'est jamais perdu tant qu'il reste quelque chose à trouver." (Pierre Dac)
"C'est quand on a raison qu'il est difficile de prouver qu'on n'a pas tort. " (Pierre Dac)
Le déterminisme

Cette idée du déterminisme sera reprise par Pierre-Simon de Laplace qui en la reformulant se rapproche du principe de causalité: Une cause précède toujours ses effets, et les effets ne peuvent rétro-agir sur la cause, toujours. La formule de Laplace va au delà du principe de causalité en y introduisant une notion prédictive: "Une intelligence qui, à un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée, la position respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l’analyse, elle embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’univers, et ceux du plus léger atome. Rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir comme le passé seraient présents à ses yeux." Nous allons voir que si l'idée est bonne, tout se calcule donc tout se détermine, elle n'est pas sans poser quelqu' interrogations, voire résistances syndicales. En effet, si tout est prévisible: qu'en est-il de mon libre arbitre, de l'inattendu, du spontané, de l'imprévu (et je ne parle pas de la visite des pichons hier soir !) ?

Un aspect contradictoire à Laplace concerne la puissance de calcul dont on doit disposer, un autre aspect concerne l'observation de l'ensemble des paramètres initiaux. Nous n'avons, même aujourd'hui, que ce soit pour l'espace ou pour un système météo, ni la puissance de calcul suffisante ni, surtout, la possibilité de connaitre la position et les états respectifs de tous les éléments et donc des conditions initiales.

Henri Poincaré n'est pas Cicéron!

Henri Poincaré est un immense mathématicien français qui a travaillé dans des domaines variés aussi bien mathématiques, philosophiques et physiques. Les travaux qui nous intéressent, sont ceux sur la théorie des systèmes dynamiques, la formule des 3 corps qui sera le précurseur de la relativité restreinte. La formule des 3 corps vise à donner une formule qui régit un système complexe tel que le système solaire. Dans le système solaire, toutes les planètes exercent une force de gravité entre elles. Pour arriver à créer un modèle mathématique qui rende compte du système solaire, Poincaré a commencé par simplifier le modèle du système solaire en le ramenant à un système à 3 corps ne comprenant que le soleil, la Terre et la Lune.

Aparté de bon goût: C'est la Lune qui maintient la Terre sur un axe de rotation qui ne varie pas et qui fait que d'années en années les saisons se ressemblent. A l'opposé, Uranus a basculé son axe à plus de 90°, imaginons nous que les pôles se retrouvent aux équateurs et vice et versa, nous aurions des manchots en pleine forêt tropicale ! (j'en ai froid dans le dos) re!

Les 3 corps

Poincaré sera récompensé par la publication de son article prédisant une grande stabilité du système solaire en partant de l'analyse des 3 corps. Or un confrère pointera un élément particulier du raisonnement de Poincaré qui se rendra compte que l'un des éléments de base portant sur les conditions initiales de sa démonstration, est contestable, chose que le mathématicien entreprendra. De fait, le modèle sera revu et la conclusion sera à l'opposé de la conclusion initiale: nous ne pouvons pas déduire le futur d'un système sensible aux conditions initiales. La théorie du chaos germe.

Pour Poincaré, la complexité d'un système dynamique tel que le système des 3 corps ou a plus forte raison le système solaire dans son entièreté, ne peut être prédit mathématiquement, ce qui lui fera dire: "si j’avais su qu’en étudiant les lois de la physique on ne pourrait rien prédire, j’aurais préféré me faire boulanger ou postier que physicien et mathématicien !" La complexité provient des équations de mouvement qui ne sont pas linéaires et qui offrent une infinité de possibilités. Les résultats sont si nombreux, qu'une modification infime des données initiales introduit des résultats totalement différents. Poincaré démontrera que dans le système à 3 corps, postulat de simplification du système solaire, il n'y a pas de solution analytique. 

Plus tard d'autres scientifiques démontreront que sur cinq milliard d'années, la probabilité d'une collision entre Pluton et Neptune serait d'environ 1% (l'incertitude de la position de la trajectoire de Pluton est à multiplier par 3 tous les 20 millions d'années ce qui veut dire qu'une erreur de 1 cm correspond à 3 milliards de centimètres sur 400 000 ans), les notions de futur déterminé par apport à la position d'une planète connue aujourd'hui, la notion même qui fonde le déterminisme, vient de voler en éclats.

Le caractère chaotique de Pluto

Lorenz

Dans les années 60, Lorenz travaille à modéliser les effets météorologiques. Pour cela il crée un simulateur d'atmosphère basé sur 12, puis cherchant à le simplifier, sur 3 degrés de liberté (et donc 3 équations différentielles), prenant en compte: température, pression, vitesse du vent, âge du capitaine, bref un système que l'on peut qualifier de primaire par rapport à la complexité réelle de l'atmosphère. Nous sommes en 1961 et l'ordinateur n'est pas particulièrement véloce. Un jour Lorenz qui en a marre de boire son café froid, décide d'accélérer le traitement informatique qu'il vient de lancer. Pour cela, il va modifier un paramètre à la main en se servant du résultat sur listing, qui ne présentait que " décimales sur les 6 utilisées par Lorenz dans son calcul. Après avoir bu son café pour se soustraire du bruit de la machine, il constata un résultat très différent de celui escompté: il décida tout de go d'arrêter de boire du café ! la théorie du chaos allait se confirmer: une infime variation dans les paramètres de départ conduit à un résultat final éloigné, différent. L'avenir sera désormais statistique, probabiliste, ou ne sera pas, nous devons renoncer au déterminisme de Newton et de Laplace, celui qui était basé sur la connaissance de la nature et nos capacités de calcul.

L'effet papillon est une image poétique derrière laquelle se cache un concept mathématique puissant et qui a eu le mérite de populariser une théorique mathématique dans le grand public: un seul battement d'ailes d'un papillon au brésil peut provoquer un ouragan au Texas, mais ce même battement d'ailes peut aussi l'empêcher. Cette image touche notre inconscient en donnant de la valeur à toutes choses infimes dans l'univers, y compris nous même.

Personnellement je ne perçois pas certains aspects de la théorie du chaos comme extraordinaires. J'imagine comme tout le monde, que dans un système complexe, une variation même infime dans les conditions de départ modifie substantiellement le résultat ! Par contre , le fait d'avoir théoriser et mathématiser la chose nous fait prendre conscience qu'il n'y a pas de déterminisme au sens de Newton. Un système dynamique dont les conditions initiales sont sensibles ne peut être prédictif et nous ouvre sur un champ des possibles, nous venons de regagner notre libre-arbitre ! D'autre part, Lorenz ouvre une nouvelle voie, celle de l'attracteur étrange qui démontre que statistiquement l'évolution des système est stable.

L'attracteur étrange

La Tracteur de Laure Heinz

En étudiant de nombreuses atmosphères virtuelles, les chercheurs ont constaté que si les courbes divergent vite, elles vont par contre s'accumuler sur une image appelée attracteur qui pour le coup ressemble à s'y méprendre à un papillon (il se nomme attracteur étrange parce-qu’il est ... étrange, "bizarre bizarre, vous avez dit bizarre, comme c'est étrange" Mad Max 21 quand mad veut récupérer son chewing-gum à la rose et que max décide de continuer de lire son journal intergalactique).

L'attracteur de Lorenz

Je ne vous conseille que trop (comme disait Zitrone), d'essayer une expérience numérique interactive sur l'attracteur de Lorenz (tentez surtout la formation de la seconde courbe qui illustre la sensibilité aux conditions initiales).

L'attracteur est une modélisation de l'évolution d'un système qu'il soit physique, biologique, chimique ou autre. Connaître l'attracteur, c'est connaître la propriété d'évolution que statistiquement un système va atteindre. Pour revenir à l'analogie du papillon, un battement d'aile peut engendrer un cyclone, mais statistiquement n'aura pas d'effet sur le long terme: il modifiera l'ordre, mais ne modifiera pas le nombre de cyclones.

Désormais, prévoir l'évolution d'un système dynamique, c'est trouver son attracteur.

Depuis Lorenz, le chaos est devenu une discipline transverse qui pénètre les mathématiques, la physique, la sociologie, l'économie, ...

Le chaos

Qu'est ce que le chaos ? Dans sa définition mythique, il s'agit de l'univers avant l'intervention de Dieu, pour les grecs c'est l'entité primordiale d'où naît l'univers et en science, il s'agit avant tout d'un système dynamique sensible aux conditions initiales et dont on ne peut prévoir le comportement dans le futur et dont on ne connait pas son état dans le passé, le déterminisme vient de prendre un coup de mou. Lorenz démontre que la complexité est inscrite dans le système lui même et non pas liée à une multitude de causes. 

En science, le chaos c'est l'ordre dans le désordre. N'y a t'il pas un paradoxe à formuler par les mathématiques le désordre, ce qui conduit à l'ordonner, le déterminer (qu'y a-t'il de plus logique et ordonné que les maths ?) ? 

D'autre part, quelle est la différence entre les fluctuations des conditions initiales qui nous amènent au chaos, et le hasard ?